Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Кафедрой профессор д.ф.-м.н.

Соболев В.А. Самара 2004 Теорема существования и единственности решения уравнения Пусть дано уравнение с начальным условием Пусть в замкнутой области R Последовательные приближения определяются формулами : k = 1,2.... Задание №9 Перейти от уравнения к системе нормального вида и при начальных условиях построить два последовательных приближения к решению.

Произведем замену переменных ; и перейдем к системе нормального вида: Построим последовательные приближения Задание №10 Построить три последовательных приближения к решению задачи Построим последовательные приближения Задание №11 а) Задачу свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.

Сведем данное уравнение к интегральному : Докажем равномерную сходимость последовательных приближений С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность непрерывных функций, определенных на некотором отрезке i = 0, 1, 2 … Если график функции проходит в области Г, то функция определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок выполнялись неравенства: , i = 1, 2, …, где 0 k , i = 1, 2, …, Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений. С другой стороны, на нашем отрезке выполняется сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.