Шпаргалка по высшей математике

Шпаргалка по высшей математике

Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель - число, характеризующее матрицу.

Определителем матрицы 1-го порядка А=(а 11 ) является единственный элемент этой матрицы.

Определителем 2-го порядка называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка, которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А. Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по правилу Сарруса.

Правило Сарруса: определитель 3-го порядка ( 3) равен алгебраической сумме 6-ти тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком «+» берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали, остальные слагаемые берутся со знаком «-». 2. Свойства определителей. 1) Если к.-л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то этой матрицы равен 0. 2)При транспонировании матрицы её определитель не изменяется: А = А’ . 3) Если все элементы к.-л. строки или столбца матрицы умножить на одно и то же число, то и этой матрицы умножится на это же число. 4) При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный. 5) Если квадратная матрица содержит 2 одинаковых строки или столбца, то её определитель равен 0. 6)Если 2 строки или 2 столбца матрицы пропорциональны, то её равен 0. 7) Сумма произведений элементов к.-л. строки или столбца матрицы и другой строки или столбца равна 0. 8) Определитель матрицы не изменяется если к элементам одной строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженный на одно и то же число. 9)Если к.-л. столбец или строка матрицы представляет собой сумму 2-х элементов, то этой матрицы может быть представлен в виде суммы 2-х определителей. 3. Минор.

Минором М ij квадратной матрицы n -го порядка для элемента а ij называется определитель ( n -1)-ого порядка, полученный с данного вычёркиванием i -ой строки и j -ого столбца. 4. Алгебраическое дополнение.

Алгебраическим дополнением А ij для элемента квадратной матрицы а ij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1) i + j . 5. Вычисление определителей любого порядка.

Понятие определителя n -ого порядка.

Определителем квадратной матрицы n -ого порядка называется число, равное алгебраической сумме n членов, каждый из которых является произведением n -элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки или столбца (причём знак каждого члена определяется как (-1) r ( j ) , где r ( j )-число инверсий). Теорема Лапласа: определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов к.-л. строки или столбца на их алгебраические дополнения. 6. Матрицы.

Основные определения.

Матрицей размера m xn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Вектор-строкой называют матрицу, состоящую из одной строки.

Вектор-столбцом - из одного столбца.

Матрица, у которой количество столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей n -ого порядка . Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца совпадает, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрицу называют диагональной. Если у диагональной матрицы n -ого порядка на главной диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается Е. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0, называется нуль-матрицей. 7. Операции над матрицами. 1)Умножение матрицы на число: условий нет, умножить на число можно любую матрицу.

Произведением матрицы А на число l называется матрица В, равная l А, каждый элемент которой находится по формуле: b ij = l x a ij . Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц: условие - складывать можно только матрицы одинакового размера.

Суммой 2-х матриц А и В называется матрица С=А+В, каждый элемент которой находится по формуле С ij = a ij + b ij . Для того, чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы, стоящие на одинаковых местах. 3)Вычитание 2-х матриц: операция аналогична сложению. 4)Умножение 2-х матриц: умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера m xk на матрицу В размера k xn называется матрица С размера m xn , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -ого столбца матрицы В. 5)Возведение в степень: возводить в степень можно только квадратные матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы А m называется произведение m -матриц, равных А. 6)Транспонирование: условий нет; транспонирование -операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка элемента, при этом элементы главной диагонали остаются на своих местах. 8. Понятие обратной матрицы и алгоритм её вычисления.

Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении её на заданную как справа так и слева получатся единичная матрица.

Теорема (необходимое и достаточн.условие сущ-я обратн.матрицы): обратная матрица А-1 сущ-т и единственна тогда и только тогда, когда заданная матрица не вырожденная.

Матрица называется вырожденной, если её определитель равен 0, в противном случае она – не вырожденная.

Алгоритм: 1)Определитель заданной матрицы. 2)Транспонирование. 3)Алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы. 4) Присоед.матрица А @ (на месте каждого эл-та А т его алгебраич.доп-я). 5) А -1 = 1/ D А * A @ . 6) Проверка = > А -1 * А=Е. 9. Ранг матрицы.

Элементарные преобразования.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы [ rang A = r ( A ) ] . Ранг матрицы не изменяется при проведении элементарных преобразований.

Преобразования: 1)отбрасывание строки или столбца, состоящих из одних нулей; 2)умножение всех эл-ов к.-л. строки или столбца матрицы на одно и то же число, отличное от 0; 3)изменение порядка строк или столбцов матрицы; 4)прибавление к каждому эл-ту к.-л. строки или столбца эл-ов др. строки или столбца, умноженных на одно и то же число, не равное 0; 5) транспонирование матрицы. 10. Системы линейных алгебраических уравнений.

Основные определения.

Матричная форма записи.

Линейным ур-ем относительно неизвестных x 1 , x 2 ,…, x n называется выражение вида a 1 x 1 + a 2 x 2 +…+ a n x n = b , где a 1 , a 2 ,…, a n и b - простые числа, причём a 1 , a 1 ,…, a n называются коэффициентами при неизвестных, а bсвободным коэффициентом.

Последовательность чисел k 1 , k 2 ,…, k n называется решением ур-я, если при подстановке этих чисел в ур-е оно обращается в верное равенство. Два линейных ур-я называются равносильными, если их решения совпадают. Чтобы получить равносильное ур-е из заданного, необходимо осуществить следующие преобразования: 1) перенос слагаемых из одной части ур-я в другую; 2) поэлементное умножение всего ур-я на одно и то же число, отличное от ноля.

Решить линейное ур-е –это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система ур-ий называется определённой, если она имеет одно единственное решение, и неопределённой, если решений множество.

Неизвестное x 1 называется разрешённым, если к.-н. ур-е системы содержит неизвестное x 1 с коэффициентом, равным 1, а во все др. ур-я системы неизвестное x 1 не входит. Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой.

Неизвестные СЛУ, которые не входят в разрешённый набор, называются свободными.

Разрешённая СЛУ всегда совместна, она будет определённой, если число ур-ий равно числу неизвестных; и неопределённой, если число неизвестных больше, чем ур-ий. Для того, чтобы определить совместна система или нет, не решая её, можно воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли.

Матрица, эл-тами которой являются коэффициенты при неизвестных системы, называется матрицей системы.

Матрица системы, дополненная столбцом свободных коэффициентов, называется расширенной матрицей. 11. Правило Крамера.

Правило Крамера : пусть D А-определитель матрицы системы, а D j -определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой j -ого столбца на столбец свободных коэффициентов; тогда, если D А ¹ 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формуле ¾ Xj = D j / D A . 12. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли : СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Система ур-ий называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. 13. Решение систем линейных алгебраических ур-ий методом Гаусса. Метод Гаусса : каждую СЛУ при помощи конечного числа преобразований можно превратить в разрешённую системы ур-ий или в систему, содержащую противоречивое ур-е.

Противоречивым называется ур-е вида OX 1 + OX 2 +...+ OX n = b . Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой.

Неизвестное x 1 называют разрешённым, если к.-н. ур-е системы содержит неизвестное x 1 с коэффициентом, равным 1, а во все другие ур-я системы неизвестное x 1 не входит. 14. Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Этим способом можно решить лишь те системы, в которых число неизвестных равно числу уравнений.

Алгоритм: 1)Записать матрицу системы (А); 2) Найти обратную матрицу для матрицы системы (А -1 ); 3) Умножить А -1 на матрицу свободных коэффициентов (В) ¾ X = A -1 * B . 15. Однородная система линейных алгебраических уравнений.

Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение . Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A n . Всякая лин. комбинация решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы.

Система лин.независимых решений е 1 , е 2 ,…,е k называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений.

Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n , то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n - r решений.

Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с 1 е 1 +с 2 е 2 +…+с k е k , где е 1 , е 2 ,…, е k – любая фундаментальная система решений, с 1 , с 2 ,…,с k – произвольные числа и k = n - r . Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы. 1 (16). Скалярные и векторные величины.

Основные определения. В математике используется 2 вида величин: а) скалярные – величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (длина, площадь, объём, масса и т.д.); б) векторные – величины, для полного определения которых помимо численного значения требуются ещё и направления в пространстве (изображаются при помощи векторов). Вектор – направленный отрезок на плоскости или в пространстве, имеющий определённую длину, у которого одна из точек принята за начало, а другая за конец.

Координатами вектора ` а являются координаты его конечной точки.

Длиной вектора (нормой) или модулем называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор [ a = x 2 + y 2 (+ z 2 ) ] . Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается ` 0. ( направление ` 0 произвольно, не определено). Для каждого ` а, отличного от 0, существует противоположный - ` а, который имеет модуль, равный а , коллиниарен с ним, но направлен в другую сторону. Два вектора ` а и ` в называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они: 1)имеют равные модули; 2)коллиниарны; 3)направлены в одну сторону. 2 (17). Линейные операции над векторами.

Свойства линейных операций. 1) Сложение 2-х векторов : (правило треугольников) суммой 2-х векторов ` а и ` в называют вектор ` с = ` а + ` в, начало которого совпадает с началом ` а, а конецс концом ` в при условии, что начало ` в совпадает с концом ` а. 2) Сложение нескольких векторов : (правило многоугольника) сумма 4-х векторов ` а, ` в, ` с, ` d есть вектор ` е = ` а + ` в + ` с + ` d , начало которого совпадает с началом ` а, а конецс концом ` d . (правило параллелепипеда) сумма 3-х векторов ` а, ` в, ` с определяется как ` d = ` а + ` в + ` с. 3) Вычитание 2-х векторов : разностью 2-х векторов ` а и ` в называется сумма ` а и - ` в (противоположного). 4) Суммой 2-х векторов одинаковой размерности n называется вектор, каждая компонента которого равна сумме соответствующих компонент слагаемых вектора: ` S = ` x + ` y , S i = x i + y i ' i . 5) Произведением ` x на действительное число а называется ` в = а ` x , каждая компонента которого равна а ` x i . C войства лин. операций над векторами: 1)коммутативное св-во суммы (переместительное); 2)ассоциативное св-во суммы (сочетательное); 3)ассоциативное относительно числового множителя: a ( b * ` c ) = ( a b ) ` c ; 4)дистрибьютивное (распределительное; 5)существование нулевого вектора, такого, что ` c + 0 = ` c ' ` c ; 6)для любого ` c существует такой противоположный - ` c , что ` c + ( - ` c ) = 0 ' ` c ; 7)для любого ` c справедливо: ` c * 1 = ` c . 3 (18). Векторное пространство, его размерность.

Понятие Базиса. N -мерным вектором называется упорядоченная совокупность n -действительных чисел, записанных в виде ` x =( x 1 , x 2 , x i , x n ) , где Xi -компонента ` X . Два N -мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: ` x = ` y , если x i = y i ' i . Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее всем сво-вам суммы( коммутативное, ассоциативные), называется векторным пространством.

Размерность векторного пространства равна количеству векторов в базисе этого пространства.

Совокупность n -мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n -мерным координатным пространством . Система n —мерных лин. независимых векторов называется базисом R n ( R 2 -плоскость, R 3 -пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы.

Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.

Теорема: для того, чтобы -- 1)2 вектора на плоскости (2)3-в пространстве) были линейно не зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были не 1) коллиниарны (2) компланарны). Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Два вектора ` а и ` в называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых.

Теорема: если диагональная система является частью n -мерных векторов, то она же является базисом этой системы.

Теорема: любой вектор системы векторов единственным образов разлагается по векторам её базиса. 4 (19). Базис на плоскости.

Разложение вектора по базису R . Система n —мерных лин. независимых векторов называется базисом R n ( R 2 -плоскость, R 3 -пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы.

Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства. 5 (20). Базис в пространстве.

Разложение вектора по базису R . Система n —мерных лин. независимых векторов называется базисом R n ( R 2 -плоскость, R 3 -пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы.

Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства. 6 (21). Линейные операции над векторами, заданные координатами. 7 (22). Проекция вектора а на вектор b . Направляющие косинусы вектора. 8 (23). Скалярное произведение векторов.

Свойства скалярного произведения.

Скалярным произведением 2-х векторов ` а и ` в называется число, равное произведению модулей, перемноженных на cos угла между ними: а * ` в = ` а * ` в * Cos j , где j -угол ` а между ` в.

Скалярное произведение может быть найдено также по формуле: ` а * ` в = ` а * пр. а ` в = ` в * пр. в ` а ® скалярное произведение 2-х векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию на него другого вектора.

Свойства скалярного произведения: 1)Переместительное ( ` а * ` в= ` в * ` а); 2)Сочетательное относительно числового множителя ( l ( ` а * ` в)= l ` а * l ` в ); 3)Распорядительное ( ( ` а + ` в ) ` с= ` а ` с + ` в ` с ); 4)Если скалярное пр-е равно 0, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо Cos угла между ними, т.е. векторы перпендикулярны.

Скалярное произведение само на себя равно квадрату его модуля. 9 (24). Скалярное произведение ортов.

Скалярное произведение векторов, заданных координатами. 10 (25). Определение угла между двумя векторами. 11 (26). Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов. 12 (27). Векторное произведение.

Векторным произведением вектора ` а на вектор ` в называется вектор ` с, который определяется следующим образом: 1) модуль ` с численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах с = а в Sin j . 2) вектор с перпендикулярен обоим перемножаемым векторам; 3) направление вектора с таково, что если смотреть из его конца вдоль вектора а к вектору в, осуществляется против часовой стрелки.

Геометрич. смысл векторного произведения –модуль векторн.пр-я равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах. Если векторы заданы в координатной форме, то их векторн.

Произведение находится по формуле: ` а ` в = i j k a x a y a z b x b y b z . 13 (28). Свойства векторного произведения. 1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак на противоположный, сохраняя при этом свой модуль: ` а ` в = ( ` в) ` а. 2)Векторн.пр-е обладает сочетательным св-вом относительно числового (скалярного) множителя: l ( ` а ` в ) = ( l ` а ) ` в = ` а ( l ` в ) . 3)Векторн.пр-е обладает распределительным св-ом. 4) Если векторн.пр-е 2-х векторов равно 0-вектору, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо синус угла между ними, т.е. векторы коллиниарны (параллельны). Для того, чтобы 2 ненулевых вектора были коллиниарны необходимо и достаточно, чтобы их векторное пр-е было равно нуль-вектору. 14 (29). Векторное произведение ортов. 15 (30). Векторное произведение векторов, заданных проекциями. 16 (31). Смешанное произведение векторов.

Свойства смешанного произведения.

Геометрический смысл смешанного произведения. Рассмотрим произведение векторов а, в и с, составленное следующим образом: ( ` а * ` в) – векторно, а затем полученной произведение умножают на ` с скалярно. ( ` а * ` в) ` с. Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным. Оно представляет собой некоторое число.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

Смешанное произведение равно определителю 3-го порядка, в строках которого стоят соответствующие проекции перемножаемых векторов. Свойства: 1)если внутри смешанного произведения в векторном произведении поменять множители местами, то смешанное пр-е поменяет свой знак на противоположный, т.е. ( ` а * ` в) ` с = - ( ` в * ` а) ` с; ( ` а * ` в) ` с = ` с ( ` а * ` в). 2)Для того, чтобы 3 вектора а, в и с были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось 0: ( ` а * ` в) ` с=0. Векторы, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называются компланарными.

Геометрич. смысл смешанного произведения : состоит в том, что смешанное пр-е с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах. 1 (32). Координаты на прямой.

Деление отрезка в данном отношении. Положение каждой точки на оси определяется числом, равным отношению длины отрезка прямой от точки 0 до заданной точки к выбранной единице длины.

Положение каждой точки на вертикальной оси определяется координатой, которая называется ордината.

Координата на горизонтальной оси называется абсцисса. Метод координат на плоскости ставит в соответствие каждой точки плоскости упорядоченную пару действительных чисел – координаты этой точки.

Расстояние между 2-мя точками возможно найти 2-мя путями: 1)если обе точки лежат на одной оси, то расстояние между ними по оси ординат (или абсцисс) равно 0, а по оси абсцисс (ординат) абсолютной величине разности между абсциссами конца и начала отрезка +рис.; 2) если 2 точки лежат в одной плоскости, длина отрезка равна квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат концов отрезков.

Деление отрезков в данном отношении : даны 2 точки М 1 ( c 1 g 1 ) и М 2 ( c 2 g 2 ) . Требуется найти внутри отрезка точку М с координатами ( c ; g ) , такую, что отрезок М1М2 поделится точкой М в соотношении М 1 М/М 2 М= l . Найти координаты М, удовлетворяющие данному равенству . Решение : М1М/М2М=АА1/АА2. АА1= X - X 1, AA 2= X 2- X . M 1 M / M 2 M =( X - X 1)/( X 2- X ) = l . X-X1= l (X2-X), X-X1= l X2- l X. X+ l X=X1+ l X2 X (1+ l ) =X1+ l X2, X=X1+ l X2/1+ l . 2 (33). Общее уравнение прямой и его исследование. Рассмотрим ур-е первой степени с двумя переменными в общем виде: Ax + By + C =0 , в котором коэффициенты А и В не равны одновременно нулю, т.е.А 2 +В 2 ¹ 0. 1)Пусть В ¹ 0. Тогда ур-е А x + By + C =0 можно записать в виде y = - Ax / B – C / B . Обозначим k = -А/В, b = - C / B . Если А ¹ 0, С ¹ 0, то получим y = kx + b (ур-е прямой, проходящей ч/з начало координат); если А=0, С ¹ 0, то y = b (ур-е прямой, параллельной оси О y ); если А=0, С=0, то y =0 (ур-е оси О x ). 2)Пусть В=0, А ¹ 0. Тогда ур-е А x + By + C =0 примет вид x = - C / A . Если С ¹ 0, то получим x = a (ур-е прямой, параллельной оси О y ); если С=0, то x =0 (ур-е оси О y ). Таким образом, при любых значениях коэффициентов А, В (не равных одновременно нулю) и С ур-е Ax + By + C =0 есть ур-е некоторой прямой линии на плоскости О xy . Это ур-е называется общим ур-ем прямой. Ур-е прямой, заданное в общем виде, не даёт представления о расположении прямой на плоскости, но из него легко находятся все основные хар-ки прямой: 1) k = - A / B ; 2)начальная ордината b = - C / B ; 3) отрезки, отсекаемые прямой на осях ординат: Ax + By + C =0 / (- C ) -Ax/C-By/C=1 a= - C/A; b= - C/B. 3 (34). Уравнение прямой, проходящей через точку М ( x , y ) перпендикулярно нормальному вектору n ( A , B ). 4 (35). Уравнение прямой, проходящей через точку М ( x , y ) параллельно направляющему вектору q ( l , m ). 5 (36). Уравнение прямой, проходящей через две точки М 1 ( x 1 , y 1 ) М 2 ( x 2 , y 2 ). Это ур-е является частным случаем ур-я пучка прямых.

Прямая задана 2-мя лежащими на ней точками М 1 ( x 1 ; y 1 ) и M 2 ( x 2 ; y 2 ), x 1 ¹ x 2, y 1 ¹ y 2(при равенстве - применение ур-япрямой, проход.ч.з 2 точки, невозможно). Для составления ур-я прямой М1М2 необходимо ур-е пучка прямых, проходящих ч/з точку М1: y - y 1= k ( x - x 1). Т.к. точка M 2 ( x 2 ; y 2 ) лежит на данной прямой, то чтобы выделить её из пучка, подставим в ур-е пучка прямых координаты М2 и найдём угловой коэффициент: k = y 2 - y 1 / x 2 - x 1 . Теперь ур-е прямой, проходящеё через 2 заданные точки, примет вид: y - y 1=( x - x 1) * y 2- y 1/ x 2- x 1 y - y 1/ y 2- y 1= x - x 1/ x 2- x 1. (др. способ: после ур-я углового коэф-та вывожу: tg a = M 2 * N / M 1 * N , M 2 N = y 2- y 1; M 1 N = x 2- x 1 tg a = K = y 2- y 1/ x 2- x 1. Подставим это ур-е в ур-е пучка прямых: y - y 1=( x - x 1) * y 2- y 1/ /x2-x1 | ( y2-y1) y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1. ) 6 (37). Уравнение прямой в отрезках. Прямая задана отрезками, которые она отсекает на осях координат. Найду ур-е прямой по заданным отрезкам а ¹ 0 и b ¹ 0, отсекаемым на осях координат.

Используя ур-е прямой, проходящей через точки А(а;0) и В(0; b ) - y - y 1/ y 2- y 1= x - x 1/ x 2- x 1—ур-е прямой в отрезках примет вид: y -0/ b -0= x - a /0- a или: - ay = b ( x - a ), - ay - bx + ab =0 | ab ; - y / b - x / a +1=0 | (-1); x / a + y / b =1. А-отрезок, отсекаемый на оси О x ; В-отрезок на оси О y . Тогда прямую можно определить как прямую, заданную двумя точками A ( a ; b ) на оси Ox и B (0: b ) на оси Oy . Подставив координаты этих точек в ур-е прямой, проходящей через две заданные точки, получим ур-е прямой в отрезках. 7 (38). Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент прямойодна из характеристик расположения прямой на плоскости; её наклон относительно оси О x (за угол наклона принимается a , отсчитываемый от оси О x против движения часовой стрелки до этой прямой); tg угла наклона этой прямой к оси О x . Если k > 0 , то a -острый; если a =0, то k =0, прямая параллельна оси О x ; если a =90 ° , то прямая параллельна оси О y , k -не существует. Пусть положение прямой в прямоугольной системе координат задано величиной отрезка, отсекаемого этой прямой на оси О y и k этой прямой. Возьмём произвольную точку М ( c ; g ). Тогда tg угла a наклона прямой найдём из прямоугольного треугольника МВ N : tg a = MN / NB = y - b / x . Введём угловой коэффициент прямой k = tg a ; получим k = y - b / x . y = kx + b - ур-е прямой с угловым коэффициентом. В зависимости от величин k и b возможны следующие варианты расположения прямой: 1) при в > 0, прямая пересекает ось О x выше начала координат; при в 0, прямая О x ниже начала координат. 2)при k > 0, прямая образует острый угол с О x ; при k 0,-тупой угол; при k =0-параллельна оси О x ; при k = µ -перпендикулярна О x . 8 (39). Уравнение прямой, проходящей через данную точку М ( x , y ) с данным угловым коэффициентом k . 9 (40). Нормальное уравнение плоскости.

Нормальное ур-е плоскости : x ( Cos a ) + y ( Cos b )+ z ( Cos g )+ r =0 , где Cos a , Cos b , Cos g -направляющие Cos –сы нормального вектора; r -расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель. 10 (41). Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

2)
1)Если прямые параллельны, то они образуют с осью OX одинаковые углы.

Поэтому угловые коэф-ты k 1 и k 2 этих прямых равны.

Обратно, если k 1= k 2, то углы наклона прямых к оси OX одинаковы, откуда следует, что данные прямые параллельны.

Условием параллельности 2-х прямых яв-ся равенство их угловых коэффициентов. 2)Формула tg a = k 2- k 1/1+ k 1 k 2 определяет угол a между пересекающимися прямыми через tg a . Если a =90, то эта формула оказывается неприменимой, т.к. tg =90 не существует. Если прямые взаимно перпендикулярны, то j 2= j 1+90, откуда tg j 2= tg ( j 1+90)= -С tg j 1. tg j 2= - 1/ tg j 1. Заменяя tg j 1 и С tg j 2 через k 1 и k 2, находим: k 2= 1/ k 1 или 1+ k 1 k 2=0. Обратно, пусть k 2= 1/ k 1, это значит, что tg j 2= -1/ tg j 1 откуда получаем j 2= j 1+90. Следовательно, угол между двумя данными прямыми равен 90, т.е. прямые взаимно перпендикулярны.

Условие перпендикулярности 2-х прямых состоит в том, что угловые коэф-ты этих прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку: k 2= -1/ k 1. 11 (42). Угол между прямыми. Угол a между 2-мя параллельными прямыми равен 0, тогда tg a =0; с другой стороны, из условия параллельности, т.е. из равенства k 1= k 2, следует, что k 1- k 2=0 и по формуле tg a = k 2- k 1/1+ k 1 k 2-угол между 2-мя пересекающимися прямыми-получаем: k 1- k 2/1+ k 1 k 2=0. 12 (43). Плоскость в пространстве. Виды уравнений плоскости.

Существуют следующие виды ур-ий плоскости: 1) Общее ур-е плоскости : Ax + By + Cz + D =0, где ` n =( A , B , C )- нормальный вектор плоскости. 2 ) ур-е плоскости, проходящей через точку М1( x 1; y 1; z 1) перпендикулярно вектору ` n =( A , B , C ): A ( x - x 1)+ B ( y - y 1)+ C ( z - z 1)=0. 3) Ур-е плоскости в отрезках : x / a + y / b + z / c =1, где a , b , c -величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. 4) Нормальное ур-е плоскости : x ( Cos a ) + y ( Cos b )+ z ( Cos g )+ r =0 , где Cos a , Cos b , Cos g -направляющие Cos –сы нормального вектора; r -расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель. 5)Ур-е плоскости, проходящей через три заданные точки: М1( x 1; y 1; z 1), М2( x 2; y 2; z 2), М3( x 3; y 3; z 3). | x - x 1 y - y 1 z - z 1 | | x 2- x 1 y 2- y 1 z 2- z 1 | =0 . | x3-x1 y3-y1 z3-z1 | 13 (44). Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. 14 (45). Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой в пространстве.

Взаимное ур-е 2-х прямых в пространстве: а) пусть прямые заданы своими канонич.ур-ями: x - x 1/ L 1= y - y 1/ m 1= z - z 1/ n 1, x - x 2/ L 2= y - y 2/ m 2= z - z 2/ n 2; где ` q 1( L 1; m 1; n 1), ` q 2 ( L 2; m 2; n 2)- направляющие векторы. Тогда прямые параллельны, если параллельны их направляющие векторы: ` q 1 ` q 2 L 1/ L 2= m 1/ m 2= n 1/ n 2. б) пусть прямые заданы аналогично случаю а). Две прямые ^ тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны ( ` q 1 ^ ` q 2). L 1 L 2+ m 1 m 2+ n 1 n 2=0. Существуют следующие виды ур-ий прямой в пространстве: 1)Общее ур-е прямой: прямая задаётся как линия пересечения 2-х плоскостей. { A1x+B1y+C1z+D1=0 { A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2=0, где А1, В1,С1-непропорциональные коэффициентам А2, В2, С2. 2)Ур-е прямой, проходящей через две точки (выводится аналогично ур-ю прямой на плоскости): x - x 2/ x 2- x 1= y - y 2/ y 2- y 1= z - z 2/ z 2- z 1. 3)Каноническое уравнение прямой в пространстве (ур-е прямой, проходящей ч/з заданную точку М0 ( x 0; y 0; z 0), параллельно направляющему вектору ` q ( l ; m ; n )): x-x 0 /l=y-y 0 /m=z-z 0 /n. 4)Параметрическое ур-е прямой: прямая задаётся при помощи точки, лежащей на прямой, и направляющего вектора. М 0 ( x0;y0;z0), ` q (l;m;n). x=x0+lt y=y0+mt z = z 0+ nt , t -параметр. 5)Угол между 2-мя прямыми в пространстве – это, практически, угол между их направляющими векторами: Cos j =L1L2+m1m2+n1n2/ L 1 2 +m 1 2 +n 1 2 * L 2 2 +m 2 2 +n 2 2 . 15 (46). Взаимное расположение прямой и плоскости. 1)Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле: Cos j = | Al + Bm + Cn | A 2 + B 2 + C 2 * l 2 + m 2 + n 2 . Где l , m , n - координаты направляющего вектора прямой; A , B , C - координаты ` n . В этом случае прямая может быть задана каноническим или параметрическим ур-ем прямой, а плоскость – общим. 2)Прямая и плоскость в пространстве параллельны: тогда и только тогда, когда скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости равно 0. ` n(A,B,C) ` q (l;m;n) Ax+By+Cz+D=0 ( общее ур - е плоскости ); x-x 0 /l=y-y 0 /m=z-z 0 /n. Т . к . ` n * ` q =0 Al + Bm + Cn =0. 3)прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны: тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарные (параллельны). Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0 или координаты пропорциональны. Т . к . ` n * ` q =0, А/ l = B / m = C / n . 4)условия, при которых прямая принадлежит плоскости: а)скалярное произведение ` n * ` q =0, т.е. Al + Bm + Cn =0; б) при подстановке координат точки, лежащей на прямой, в общее ур-е плоскости получается верное равенство Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D =0 { x = x 0+ lt , { y = y 0+ mt , { z = z 0+ nt (параметрич. ур-е прямой). 5)точка пересечения прямой и плоскости: для того, чтобы найти координаты точки пересечения прямой и плоскости в пространстве, необходимо совместно решить систему, составленную из ур-ий: x - x 0/ l = y - y 0/ m = z - z 0/ n (канонич. ур-е прямой), Ax + By + Cz + D =0 (общее ур-е плоскости). Для того,чтобы решить такую систему необходимо перейти от канонич. ур-я к параметрическому: { x = x 0+ lt , { y = y 0+ mt , { z = z 0+ nt (параметрич. ур-е прямой) { Ax + By + Cz + D =0. 16 (47). Кривые второго порядка.

Окружность.

Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax 2 +2 Bxy + Cy 2 +2 Dx +2 Ey + F =0, где A , 2 B , C , 2 D , 2 E , F - действительные числа. Кроме того, по крайней мере, одно из этих чисел ¹ 0. Окружность-множество точек, равно удалённых от данной точки (центра). Если обозначить через R радиус окр., а через С( x 0, y 0) –центр окружности, то исходя из этого определения : Возьмём на окр. произвольную точку М ( x , y ). По определению, расстояние СМ= R . Выражу СМ ч/з координаты заданных точек: СМ = ( x - x 0) 2 +( y - y 0) 2 = R R 2 =( x - x 0) 2 +( y - y 0) 2 -ур-е окр. С центром в точке С( x 0, y 0). Это ур-е называется нормальным ур-ем окружности. Ax 2 +2 Bxy + Cy 2 +2 Dx +2 Ey + F =0-ур-е второй степени с 2-мя переменными в общем виде. Ax 2 ++ Cy 2 = d -кривая второго порядка, где А,В,С не равны 0 одновременно, т.е. А 2 +В 2 +С 2 ¹ 0. x 2 + y 2 -2 x 0 x -2 y 0 y + x 0 2 + y 0 2 - R 2 =0; B =0, A /1= C /1 A = C ¹ 0 (т.к. A 2 + B 2 + C 2 ¹ 0, B =0). Получаем ур-е: Ax 2 + Ay 2 + Dx + Ey + F =0- общее ур-е оркужности.

Поделим обе части этого ур-я на А ¹ 0 и, дополнив члены, содержащие x , y , до полного квадрата, получаем: ( x +( D /2 A )) 2 +( y +( E /2 A )) 2 =( D 2 + E 2 -4 AF )/4 A 2 . C равнивая это ур-е с нормальным ур-ем окр., можно сделать вывод, что ур-е: Ax 2+ Bxy + Cy 2+ Dx + Ey + F =0-ур-е действительной окружности, если:1)А=С; 2)В=0; 3) D 2 + E 2 -4 AF > 0. При выполнении этих условий центр окр. расположен в точке О(- D /2 A ;- E /2 A ), а её радиус R = D 2 + E 2 -4 AF /2 A . 17 (48). Кривые второго порядка.

Эллипс. Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax 2 +2 Bxy + Cy 2 +2 Dx +2 Ey + F =0, где A , 2 B , C , 2 D , 2 E , F - действительные числа. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел ¹ 0. Эллипс (кривая эллиптического типа) - кривая 2-го порядка, где коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки. 18 (49). Кривые второго порядка.

Гипербола.

Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид: Ax 2 +2 Bxy + Cy 2 +2 Dx +2 Ey + F =0, где A , 2 B , C , 2 D , 2 E , F - действительные числа. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел ¹ 0. Кривая 2-го порядка называется гиперболой (или кривой гиперболического типа), если коэффициенты А и С имеют противоположные знаки, т.е. АС 0. Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я: Ax 2 +2 Bxy + Cy 2 +2 Dx +2 Ey + F =0 , где а) Каноническое ур-е параболы: y2=2px или y=ax2 19 (50). Кривые второго порядка.

оценка жилой недвижимости в Смоленске
оценка стоимости дачи в Курске
оценка стоимости зданий в Твери