Представление чисел в виде суммы двух квадратов и ...

Хорошо известно, что квадраты некоторых чисел можно разложить в сумму двух квадратов. Таков египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5: 3 2 +4 2 =5 2 . Можно описать все целочисленные решения уравнения x 2 +y 2 =z 2 . Это было сделано Диофантом, греческим математиком, жившим (вероятно) в III веке нашей эры, во второй книге его трактата 'Арифметика' (до нас дошли 6 книг из 13). На полях около решения Диофанта Ферма написал: 'Нельзя разложить куб на два куба, ни квадрато-квадрат (т. е. четвертую степень числа) на два квадрато-квадрата, ни вообще никакую степень выше квадрата и до бесконечности нельзя разложить на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки'. Иначе говоря, уравнение x n +y n =z n при натуральном n>2 в целых числах неразрешимо. В бумагах Ферма было найдено доказательство этого утверждения для n=4 (это единственное подробное доказательство теоремы из теории чисел, обнаруженное в бумагах Ферма). Для n=3 теорему Ферма доказал Эйлер в 1768 году. В течение XIX века для доказательства теоремы Ферма были предприняты огромные усилия.

Особенных успехов добился немецкий математик Куммер. После его работ теорема Ферма оказалась доказанной для всех простых n (а доказать ее только для них), меньших 100, кроме 37, 59 и 97. В нашем веке теорема Ферма была доказана для простых чисел, меньших 100,000 , но окончательное решение так и не было найдено. В 1908 году любитель математики Вольфскель завещал 100,000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Это стало бедствием для математиков многих стран.

Потекли сотни и тысячи писем с доказательствами теоремы Ферма. Как правило, они содержали элементарные ошибки, но на их нахождение тратились немалые силы многих математиков. Во время Первой мировой войны эта премия обесценилась. Поток псевдодоказательств сократился, но не иссяк. И уже казалось, что эта проблема перейдет через новую грань веков, но все-таки пять лет тому назад английский математик Уайлс 'залатал последнюю дыру' в своем доказательстве этой великой теоремы, с которым он впервые предстал перед математическим миром в 1993 году. Мир признал: Великая теорема Ферма доказана! Однако, тем, кто интересуется математикой, имя Ферма говорит очень многое независимо от его Великой теоремы. Он был, без всякого сомнения, одним из самых проницательных умов своего времени - времени Гигантов. Его по праву считают основоположником теории чисел, он внес огромный вклад в зарождающиеся новые направления, определившие последующее развитие науки: математический анализ, аналитическую геометрию. Мы признательны Ферма за то, что он приоткрыл для нас мир, полный красоты и загадочности. ТЕОРЕМА ФЕРМА-ЭЙЛЕРА Следующая теорема, несомненно, принадлежит к числу высших достижений математики XVII--XVIII веков.

Взгляните на несколько первых нечетных простых чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... Числа 5, 13, 17 представимы в виде суммы двух квадратов: 5=2 2 +1 2 , 13=2 2 +3 2 , 17=1 2 +4 2 , а остальные числа (3, 7, 11, 19) этим свойством не обладают. Можно ли объяснить этот феномен? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема: Теорема : Для того, чтобы нечетное простое число было представимо в виде суммы двух квадратов , необходимо и достаточно , чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1 . Доказательство (Лагранжа) Это доказательство опирается на следующую лемму Вильсона : если p --- простое число, то число (p-1)!+1 делится на p . Чтобы не отвлекаться на доказательство этого вспомогательного факта, продемонстрирую лишь основную идею этого доказательства на примере простого числа 13. Для любого числа x , 2 x 11 , найдется такое число y , 2 y 11 , что x* y при делении на 13 дае в остатке 1. Действительно, (13-1)!=12!=(2* 7)(3* 9)(4* 10)(5* 8)(6* 11)* 12, и при этом все произведения в скобках при делении на 13 дают в остатке 1, а значит, 12! при делении на 13 даст в остатке 12 , откуда (для выбранного нами числа 13 ) следует утверждение леммы Вильсона. Из леммы Вильсона извлечем такое следствие: если p=4n+1 , где n --- натуральное число, то ((2n)!) 2 +1 делится на p . Действительно, из леммы Вильсона следует, что (4n)!+1 делится на p , и теперь необходимое утверждение вытекает из следующей выкладки: (4n)!+1=(2n)!(2n+1)*...*(4n)+1= =(2n)!(p-2n)(p-2n-1)*...*(p-1)+1= =(2n)!(-1) 2n (2n)!+pk+1 ((2n)!) 2 +1(mod p). Обозначим (2n)! через N . Мы доказали, что N 2 -1(mod p) . Теперь нам предстоит преодолеть основную трудность.

Рассмотрим все пары целых чисел (m,s) , такие что 0 m [ ] , 0 s [ ] , через [ ] обозначена целая часть числа --- наибольшее целое число, не превосходящее . Число таких пар ([ ]+1) 2 >p . Значит, по крайней мере для двух различных пар (m 1 ,s 1 ) и (m 2 ,s 2 ) остатки от деления m 1 +Ns 1 и m 2 +Ns 2 на p одинаковы, т. е. число a+Nb , где a=m 1 -m 2 , b=s 1 -s 2 , будет делиться на p . При этом |a| [ ] , |b| [ ] . Но тогда число a 2 -N 2 b 2 =(a+Nb)(a-Nb) делится на p , и значит, учитывая, что N 2 -1(mod p) , получим, что a 2 +b 2 делится на p , т. е. a 2 +b 2 =rp , где r --- натуральное число ( r 0 , ибо иначе пары были бы одинаковы). С другой стороны, a 2 +b 2 2[ ] 2 , т. е. r=1 , и значит, a 2 +b 2 =p . Теорема доказана.

Вопрос о представлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается следующим утверждением: Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда все простые сомножители вида 4k+3 входят в разложение этого числа на простые сомножители с четными показателями.

Единственность представления простого числа в виде суммы двух квадратов По теореме Ферма-Эйлера любое простое число р, которое при делении на 4 дает остаток 1, представимо в виде суммы двух квадратов.

Осталось доказать, что такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых.

Теорема: Никакое простое число не может быть представлено в виде суммы квадратов двух целых чисел существенно разными (т. е. не получающимися один из другого перестановкой слагаемых) способами.

Доказательство . Если бы простое число p имело два существенно разных представления, p = a 2 + b 2 = c 2 + d 2 , то разложения p = (a + bi)(a - bi) = (c + di)(c - di) представляют собой противоречие . Можно обойтись в доказательстве теоремы 9 и без комплексных чисел.

Предположим, что простое число p двумя существенно разными (т. е. отличающимися не только порядком слагаемых) способами разложено в сумму квадратов натуральных чисел: p = a 2 + b 2 = c 2 + d 2 . Тогда a 2 c 2 = (- b 2 )(- d 2 )(mod p ), т. е. число a 2 c 2 - b 2 d 2 кратно p . (Если рассуждения со сравнениями по модулю p непривычны и потому подозрительны, можно получить то же самое, рассматривая тождество a 2 c 2 - b 2 d 2 = a 2 ( c 2 + d 2 ) - ( a 2 + b 2 ) d 2 ).) Поскольку число p простое, из делимости произведения (ac + bd)(ac - bd) на p следует, что один из множителей кратен p . Если число ac + bd кратно p , то воспользуемся формулой (1): p 2 = (ac + bd) 2 + (ad - bc) 2 . Если (ac + bd) 2 кратно p 2 и потому не меньше p 2 . Если же ad - bc = 0, то ad = bc . Поскольку как числа a и b , так и числа c и d взаимно просты, имеем a = c и d = b . Случай, когда ac - bd кратно p , можно рассмотреть аналогично, воспользовавшись формулой p 2 = (ac - bd) 2 + (ad + bc) 2 . Итак, простое число нельзя двумя существенно разными способами представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Число, единственным образом представимое в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, не всегда является простым: 10 = 1 2 + 3 2 , 25 = 3 2 + 4 2 . Легко сформулировать условия, при которых число имеет единственное представление в виде суммы двух квадратов.

Однако боле целесообразной представляется следующая задача, описанная далее. КОЛИЧЕСТВО представЛЕНИЙ ЧИСЛА в виде суммы двух квадратов В III веке нашей эры греческий математик Диофант не только знал, что число 65 представимо двумя способами, но и объяснял это тем, что 65 является произведением чисел 13 и 5, каждое из которых — сумма двух квадратов.

Комплексных чисел Диофант не знал, иначе он непременно выписал бы разложения 5 = (2 + i )(2 - i ), 13 = (3 + 2 i )(3 - 2 i и продолжил бы свои объяснения следующим образом: 65 = (2 + i )(3 + 2 i ) . (2 - i )(3 - 2 i ) = (4 + 7 i ) . (4 - 7 i ) = = 4 2 + 7 2 = (2 + i )(3 - 2 i ) . (2 - i )(3 + 2 i )= = (8 - i ) . (8 + i ) = 8 2 + 1 2 . По-разному группируя множители, получаем два разных разложения! Следующий пример — число 25. 25 — наименьшее число, двумя способами представимое в виде суммы квадратов двух целых чисел. Оба эти разложения легко получить, поразному группируя множители: 25 = (2 + i ) 2 . (2 - i ) 2 = (3 + 4 i ) . (3 - 4 i ) = = 3 2 + 4 2 = (2 + i )(2 - i ) . (2 + i )(2 - i ) = = 5 . 5 = 5 2 + 0 2 . Последний пример — число 5746. Как мы хорошо знаем, всякому представлению 5746 = a 2 + b 2 соответствует разложение 5746 = (a + bi)(a - bi) на сопряженные множители.

Поэтому разложим рассматриваемое число сначала на простые натуральные, а затем и на простые гауссовы множители: 5746 = 2 . 13 2 . 17 = (1 + i )(1 - i )(3 + 2 i ) 2 (3 - 2 i ) 2 (4 + i )(4 - i ). Теперь мы должны из нескольких этих множителей составить a + bi , да так, чтобы произведение остальных множителей равнялось a - bi . Это нетрудно сделать : a + bi = (1 + i )(3 + 2 i ) 2 (4 + i ) = -45 + 61 i , a - bi = (1 - i )(3 - 2 i ) 2 (4 - i ) = -45 - 61 i . При этом, разумеется, 45 2 + 61 2 = 2025 + 3721 = 5746. Легко найти и еще два варианта: a + bi = (1 + i )(3 + 2 i )(3 - 2 i )(4 + i ) = 39 + 65 i или a + bi = (1 + i )(3 - 2 i ) 2 (4 + i ) = 75 - 11 i . Они приводят к представлениям 39 2 + 65 2 = 1521 + 4225 = 5746 и 75 2 + 11 2 = 5625 + 121 = 5746. Никаких других представлений нет Аналогично можно найти число представлений в виде суммы двух квадратов любого натурального числа p 1 , ..., p r — попарно различные простые числа, каждое из которых дает остаток 1 при делении на 4, Q — число, не имеющее простых делителей кроме тех, которые дают остаток 3 при делении на 4. А именно, если Q не является точным квадратом, то n не представимо в виде суммы двух квадратов; если же Q — точный квадрат, то, применив необходимое число раз теорему 2, получаем: количество представлений числа n в виде суммы двух квадратов равно количеству представлений числа Итак, к оличество представлений числа m в виде суммы квадратов двух целых чисел равно [((a 1 + 1) . ... . (a r + 1) + 1)/2]. (Если число сомножителей равно О, то произведение считается равным 1. Представления, отличающиеся порядком слагаемых, не различаются. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА В ВИДЕ Теорема : положительное нечетное число представимо в виде тогда и только тогда, когда каноническое разложение данного числа не содержит простых чисел р вида 8 n +5 и 8 n +7. Данная теорема представима в виде уравнения: N , где N -положит. нечетное число. (1) Число таких представлений равно 2 v , где v -число решений сравнения (2) Доказательство . Если нечетное N не имеет простых делителей вида 8 n +5 и 8 n +7, то сравнение (2) имеет решения, т.е. v <>0 (не равно нулю). Тогда получаем, что число форм { N , B , C }с дискриминантом D =-8, таких, что 0 B N , равно v. Далее докажем, что все формы с дискриминантом D =-8 эквивалентны форме {0, 1, 2}. Действительно если у приведенной положительно определенной формы { a , b , c }дискриминант D = , имеем ac =2, a =1, c =2, b =0. Таким образом, при D =-8, так же как при D =-4 и при D =-3 имеется один класс положительно определенных форм. Для каждой из v форм вида { a , b , c }существуют два унимодулярных линейных преобразования, переводящих { a , b , c }в { N , B , C }, и тогда получаем, что уравнение (1) имеет 2 v решений с взаимно простыми значениями x , y . Число решений сравнения (2) определяется теоремой.

Согласно этой теореме, если N = где все n +3, то v = и число представлений N в виде (1) равно . В частности, отсюда вытекает, что любое простое число р вида 8 n +1 или 8 n +3 единственным образом может быть представлено в виде суммы квадрата и удвоенного квадрата натуральных чисел.

Примечание. При четном N =2 могут быть два случая: 1) Если нечетное, то, заменяя в уравнении (1) x через 2 и сокращая на 2, мы возвращаемся к случаю, рассмотренному в вышеуказанной теореме. 2) Если четно, т. е. 4 х, 2у, т. е. не существует решений уравнения (1) с взаимно простыми x и y . Число решений уравнений (1) и , рассмотренного в первой части реферата, было легко определить благодаря тому, что для дискриминантов D =-4 и D =-8 существует всего только по одному классу квадратичных форм. Легко видеть, что если { a , b , c } — положительно определенная форма с взаимно простыми a , b , c и если существует только один класс примитивных форм с дискриминантом D = , то можно определить число собственных решений уравнения: Известно, что для следующих значений - D - D =3, 4, 7, 8, 11, 12, 16, 19, 27, 28, 43, 67 существует только по одному классу таких квадратичных форм. ЗАКЛЮЧЕНИЕ На Рождество 1640 года в письме от 25 декабря Пьер Ферма извещал знаменитого Мерсенна, друга Декарта и главного посредника в переписке ученых того времени, о том, что 'всякое простое число, которое при делении на четыре дает единицу, единственным способом представимо как сумма двух квадратов'. В ту пору математических журналов еще не существовало, информацией обменивались в письмах, и как правило, результаты лишь анонсировались, но не сопровождались детальными доказательствами.

Правда, спустя почти двадцать лет после письма Мерсенну в письме к Каркави, отправленном в августе 1659 года, Ферма приоткрывает замысел доказательства описанной выше теоремы. Он пишет, что основная идея доказательства состоит в методе спуска, позволяющем из предположения, что для какого-то простого числа вида 4n+1 заключение теоремы неверно, получить, что оно неверно и для меньшего числа того же и т. д., пока мы не доберемся до числа 5, когда окончательно придем к противоречию.

Первые доказательства, которые впоследствии были опубликованы, найдены Эйлером между 1742 и 1747 годами.